Присоединяйтесь к нам в социальных сетях:

Закон сохранения энергии для косого удара

закон сохранения энергии для косого удара

Сохраняются ли в системе «стержень — пуля» при ударе: а) импульс; б) момент импульса относительно оси вращения стержня; в) кинетическая энергия?

Рис.7.1

Решение. На указанную систему тел действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси. Если бы ось могла перемещаться, то она после удара передвинулась бы вправо. Вследствие жесткого крепления, например, к потолку здания, импульс силы, полученный осью при взаимодействии, воспринимает вся Земля в целом. Поэтому импульс системы тел не сохраняется.

Моменты указанных внешних сил относительно оси вращения равны нулю. Следовательно, закон сохранения момента импульса выполняется.

При ударе пуля застревает вследствие действия внутренней силы трения, поэтому часть механической энергии переходит во внутреннюю (тела нагреваются).А поскольку в данном случае потенциальная энергия системы не изменяется, то уменьшение полной энергии происходит за счет кинетической.

Пример 8. На нити подвешен груз. Пуля, летящая горизонтально, попадает в груз (рис.7.2).

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Важноimportant
Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное — движению влево.

Рис.1

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид (1)

(2) 22. Момент импульса твердого тела. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса матеpиальной точки относительно некотоpой оси опpеделяется аналогично моменту силы относительно оси. Импульс точки надо спpоектиpовать на плоскость, перпендикуляpную к оси, а затем найти плечо полученной пpоекции, т.е.


pасстояние от линии действия найденной пpоекции до оси.
Инфоinfo
Моментом импульса точки относительно оси называется произведение пpоекции импульса на плоскость, пеpпендикуляpную к оси, на плечо этой пpоекции (pис. 3.6): (3.33) Если точка движется по окpужности вокpуг заданной оси, то момент импульса и опpеделяется выpажением L=mvr, (3.34) где v — модуль скоpости, r — pадиус окpужности. Момент импульса системы точек относительно оси опpеделяется как сумма моментов импульса ее отдельных точек. В связи с этим легко установить пpостую фоpмулу для момента импульса твеpдого тела относительно оси вpащения.

Все точки этого тела движутся по окpужностям с центpами pасположенными на оси, и для них спpаведлива фоpмула (3.34).

(3.35) Итак, момент импульса твеpдого тела относительно оси вpащения pавен пpоизведению момента инеpции тела относительно оси вpащения на его угловую скоpость.

Post navigation

Рис.7.3

Решение. Эту задачу можно решить двумя способами: 1) используя определение момента импульса материальной точки, 2) на основе закона изменения момента импульса.

Первый способ.

По определению момента импульса имеем:

где r — радиус-вектор, определяющий положение материальной точки, p=mv — ее импульс.

Модуль момента импульса рассчитывается по формуле:

где α — угол между векторами r и р.

При абсолютно упругом ударе о неподвижную стенку модуль скорости материальной точки и, следовательно, модуль импульса не изменяются pI=pII=p, кроме того, угол отражения равен углу падения.

Модуль момента импульса относительно точки А (рис.7.4) равен до удара

после удара

Направления векторов LI и LIIможно определить по правилу векторного произведения; оба вектора направлены перпендикулярно плоскости рисунка “к нам”.

Следовательно, при ударе момент импульса относительно точки А не изменяется ни по величине, ни по направлению.

Рис.7.4

Модуль момента импульса относительно точки В (рис.7.5) равен как до, так и после удара

Рис.7.5

Ориентации векторов LI и LII в данном случае будут различны: вектор LI по-прежнему направлен “к нам”, а вектор

LII — “от нас”.

Поиск

Для абсолютно упругого удара справедливы уравнения:

, где m1, m2 — массы шаров,

— скорости шаров до удара,

— скорости шаров после удара.

Применение законов сохранения к абсолютно неупругому удару

. Энергия идущая на деформацию. Применение неупругого удара. Удар абсолютно упругих и неупругих тел является примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении физической задачи.

Соударение тел – столкновение двух или более тел, при которых взаимодействие длится очень короткое время.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.

Абсолютно неупругий удар — соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу Вследствие деформации происходит уменьшение кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии.

Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара Применение законов сохранения к абсолютно упругому удару.
Частные случаи (m1=m2; m2m1) и их конкретные проявления.

Популярное:

Определяется этот коэффициент экспериментально для каждых конкретных тел. Называется он коэффициентом восстановления скорости. Величина его . У пластичных тел k = 0, у абсолютно упругих тел k = 1.

Решая, теперь, уравнения (7) и (6), получим скорости тел после окончания удара.

(8)

Скорости имеют положительный знак, если они совпадают с положительным направлением оси, выбранной нами, и отрицательный – в противном случае.

Проанализируем полученные выражения для двух шаров различных масс.

1) m1=m2 ⇒

Шары равной массы «обмениваются» скоростями.

2) m1m2, v2=0,

u1<v1, следовательно, первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью;

u2u1, следовательно, скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара.

3) m1<m2, v2=0,

u1<0, следовательно, направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает обратно.

u2<v1, следовательно, второй шар в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью.

4) m2m1 (например, столкновение шара со стенкой)

u1=-v1, , следовательно, получившее удар большое тело останется в покое, а ударившее малое тело отскочит с первоначальной скоростью в противоположную сторону.

Можно найти, как и при ударе пластичных тел, потерю кинетической энергии при ударе упругих тел.

Консультация юриста

При ударе по телу в этом месте ударные силы в подшипниках не возникают.

Кстати, заметим, что центр удара совпадает с точкой где приложены равнодействующая сил инерции и вектор количества движения.

Вспомним, что при ударе длинной палкой по неподвижному предмету, мы нередко испытывали рукой неприятный ударный импульс, как говорят – «отбивали руку».

Нетрудно найти в этом случае центр удара – место, которым следует ударить, чтобы не почувствовать это неприятное ощущение (рис.9).

Рис.9

Так как (l – длина палки) и a=OC=0,5l то

Следовательно, центр удара находится на расстоянии трети длины от конца палки.

Понятие центра удара учитывают при создании различных ударных механизмов и других конструкций, где встречаются ударные процессы.

Пример 12. Стержень массы m2 и длины l, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное. Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня ударяет о небольшой кубик массы m1, лежащий на горизонтальном столе.

Информация

По теореме об изменении количества движения, в проекциях на ось х, получим два уравнения

где и — массы тел; — проекции скоростей на ось х.

Конечно, этих двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных ( и S). Нужно еще одно, которое, естественно, должно характеризовать изменение физических свойств этих тел в процессе удара, учитывать упругость материала и его диссипативные свойства.

Рассмотрим сначала удар пластичных тел, таких, которые по окончании удара не восстанавливают деформированный объем и продолжают двигаться как одно целое со скоростью u, т.е. . Это и будет недостающее третье уравнение.

Бесплатная консультация юриста

В каких пределах находятся его числовые значения?

— Какова зависимость между углами падения и отражения при ударе о гладкую неподвижную поверхность?

— Чем характеризуются первая и вторая фазы упругого удара? В чем состоит особенность абсолютно упругого удара?

— Как определяются скорости двух шаров в конце каждой фазы прямого центрального удара (неупругого, упругого, абсолютно упругого)?

— Какова зависимость между ударными импульсами второй и первой фаз при абсолютно упругом ударе?

— Какова потеря кинетической энергии двух соударяющихся тел при неупругом, упругом и абсолютно упругом ударах?

— Как формулируется теорема Карно?

— Как формулируется теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе в векторной форме и в проекциях на оси координат?

— Могут ли внутренние ударные импульсы изменить кинетический момент механической системы?

— Какие изменения вносит действие ударных сил в движение твердых тел: вращающегося вокруг неподвижной оси и совершающего плоское движение?

— При каких условиях опоры вращающегося тела не испытывают действия внешнего ударного импульса, приложенного к телу?

— Что называют центром удара и каковы его координаты?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Снаряд массой 100 кг летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем.

Кроме того, угол отражения молекулы равен углу, под которым она движется к стенке.

Изменение импульса молекулы равно импульсу силы, полученному молекулой от стенки:

pII-pI=F∆t,

где F — средняя сила, с которой стенка действует на молекулу, pI=mv, pII=mv — импульсы молекулы до и после удара.

Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

Σx=0: mv∙cosα-(-mv∙cosα)=Fx∆t,

Σy=0: mv∙sinα-mv∙sinα=Fy∆t, Fy=0.

откуда величина импульса силы, полученного молекулой, равна

F∆t=Fx∆t=2mv∙cosα.

По третьему закону Ньютона величина силы, с которой стенка действует на молекулу равна силе, действующей со стороны молекулы на стенку. Поэтому стенка получает точно такой же импульс F∆t=2mv∙cosα, но направленный в противоположную сторону.

Пример 11. Боек свайного молота массой m1 падает с некоторой высоты на сваю массой m2. Найти КПД удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при ее углублении пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему тел, состоящую из бойка молота и сваи.
До удара (состояние I) боек движется со скоростью v1, свая неподвижна. Суммарный импульс системы pI=m1v1, ее кинетическая энергия (затраченная энергия)

После удара оба тела системы движутся с одинаковой скоростью u.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид (15.1) (15.2) Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим (15.3) (15.4) (15.5) Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим (15.6) (15.7) Разберем несколько примеров.

(15.8) (15.9) Проанализируем выражения (15.8) в (15.9) для двух шаров различных масс: в) т1т2. Направление движения первого шара при ударе изменяется—шар отскакивает обратно.

Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.

е. <1 (рис. 21); г) т2т1 (например, столкновение шара со стеной).

Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что = – v 1, » 2 m 1 v 1/ m 2 » 0. т. е.

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли, и если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то изменение давления с высотой происходит по закону

.

Последнее соотношение называется барометрической формулой. В действительности земная атмосфера не находится в равновесном состоянии, ее температура меняется с высотой, и барометрическую формулу следует применять к участкам атмосферы, в пределах которых изменением температуры можно пренебречь.

Закон сохранения энергии для косого удара о

Вниманиеattention
Рис.1

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид (1) (2) Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим (3) (4) откуда (5) Решая уравнения (3) и (5), находим (6) (7) Разберем несколько примеров. 1. При ν2=0 (8) (9) Проанализируем выражения (8) в (9) для двух шаров различных масс: а) m1=m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (ν2=0) (рис.


2), то после удара остановится первый шар (ν1=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (ν2=ν1);

Рис.2

б) m1m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (ν1<ν1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (ν2ν1 ) (рис. 3);

Рис.3

в) m1<m2. При ударе направление движения первого шара изменяется — шар отскакивает обратно.
При этом второй шар движется в сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. ν2<ν1 (рис. 4);

Рис.4

г) m2m1 (например, столкновение шара со стеной).

Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через Тогда по закону сохранения импульса При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры. Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар двух шаров. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара v1 и v2, после удара – v’1 и v’2(рис.3.3).

Рис.3.3. Абсолютно упругий удар двух тел Законы сохранения импульса и энергии при этом имеют вид: Решая эти уравнения, находим: 1) если m1=m2, то v’1=v2 и v’2=v1 (шары обмениваются скоростями). Например, при столкновении первого шара с неподвижным вторым (v2=0) первый шар останавливается (v’1=0), а второй движется со скоростью первого (v’2=v1) (рис.3.4).

После удара они будут двигаться с общей скоростью v (рис.3.5), которую найдем из закона сохранения импульса: Рис.3.5.

Для прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, проходящей через их центры. Проекции векторов скоростей на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное — движению влево.

Рис.1

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид (1) (2) Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим (3) (4) откуда (5) Решая уравнения (3) и (5), находим (6) (7) Разберем несколько примеров.
1. При ν2=0 (8) (9) Проанализируем выражения (8) в (9) для двух шаров различных масс: а) m1=m2.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

В частном случае, если массы шаров равны (т 1 = т 2 ), то Если ударяемое тело было первоначально неподвижно ( v 2 = 0), то Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел. С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц).

В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары .
Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется.

Заметим, что в опpеделении момента импульса тела обнаpуживается аналогия между их поступательным и вpащательным движениями. Момент импульса пpи вpащении выполняет pоль импульса пpи поступательном движении. И если импульс тела есть пpоизвeдение массы тела на его линейную скоpость, то момент импульса есть пpоизведение момента инеpции на его угловую скоpость.

Опиpаясь на эту аналогию, можно пойти дальше и высказать пpедположение, что как импульс подчиняется закону сохpанения, так,по-видимому, и момент импульса подчиняется этому же закону. Это пpедположение оказывается пpавильным и может быть специально доказано. Не будем пpиводить доказательство, а лишь сфоpмулиpуем закон.

Он гласит: Если на систему вpащающихся вокpуг оси тел не действуют моменты внешних сил (система в этом смысле замкнута) или внешние моменты взаимно уpавновешиваются, то суммаpный момент импульса системы относительно оси вpащения с течением вpемени не изменяется. Таким обpазом, закон утвеpждает, что внутpенние моменты сил системы не в состоянии изменить полный суммаpный момент импульса системы тел, а в состоянии лишь пеpеpаспpеделить его. Внутpи системы возможна лишь пеpедача момента импульса от тела к телу.

В аналитическом виде закон сохpанения момента импульса записывается следующим обpазом: если Mвнеш = 0 , то

(3.36) или так: для начального и конечного момента вpемени

(3.37) Наиболее наглядно закон сохpанения момента импульса демонстpиpуется с помощью скамьи Жуковского.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *